第二十六章 反比例函数——26.1 反比例函数——26.1.1 反比例函数

思考：下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？
(1)京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位：h)的变化而变化；
(2)某住宅小区要种植一块面积为1000 m²的矩形草坪，草坪的长y(单位：m)随宽x(单位：m)的变化而变化；
(3)已知北京市的总面积为1.68×10⁴ km²，人均占有面积S(单位：km²/人)随全市总人口n(单位：人)的变化而变化。
问题(1)中，有两个变量t与v，当一个量t变化时，另一个量v随着它的变化而变化，而且对于t的每一个确定的值，v都有唯一确定的值与其对应。问题(2)(3)也一样。所以这些变量间具有函数关系，它们的解析式分别为
v=1463/t，
y=1000/x，
S=(1.68×10⁴)/n
上述解析式都具有y=k/x的形式，其中k是非零常数。（在y=k/x中，自变量x是分式k/x的分母，当x=0时，分式k/x无意义。）
一般地，形如y=k/x(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数(inverse proportional function)，其中x是自变量，y是函数。自变量x的取值范围是不等于0的二切实数。
例如，在上面的问题(1)中，当路程一定(1463 km)时，v=1463/t表示速度v是时间t的反比例函数，当t取每一个确定的值时，v都有唯一确定的值与其对应。

例1 已知y是x的反比例函数，并且当x=2时，y=6。
(1)写出y关于z的函数解析式；
(2)当x=4时，求y的值。
分析：因为y是x的反比例函数，所以设y=k/x，把x=2和y=6代入上式，就可求出常数k的值。
解：(1)设y=k/x，因为当x=2时，y=6，所以有
6=k/2
解得 k=12
因此 y=12/x
(2)把x=4代入y=12/x，得
y=12/4=3

练习：
1.用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系：
(1)一个游泳池的容积为2000m³，游泳池注满水所用时间t(单位：h)随注水速度v(单位：m³/h)的变化而变化；
(2)某长方体的体积为1000cm³，长方体的高h(单位：cm)随底面积S(单位：cm²)的变化而变化；
(3)一个物体重100N，物体对地面的压强p(单位：Pa)随物体与地面的接触面积S(单位：m²)的变化而变化。
2.下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？
y=4x，y/x=3，y=—(2/x)，y=6x+1，y=x²—1，y=1/x²，xy=123
3.已加y与x²成反比例，并且当x=3时，y=4。
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)当x=1.5时，求y的值；
(3)当y=6时，求x的值。