第五章 相交线与平行线——5.1 相交线

5.1.1 相交线
观察剪刀剪开布片过程中有关角的变化。可以发现，握紧剪刀的把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角也相应变小，直到剪开布片。如果把剪刀的构造看作两条相交的直线，这就关系到两条相交直线所成的角的问题。
例如，有两条线相交于一点O，∠1与∠2为对顶角，∠2与∠4为对顶角。那么∠1和∠2有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线（∠1和∠2互补），具有这种关系的两个角，互为邻补角(adjacent angles on a straight line)。
∠1和∠3有一个公共顶点O，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角(opposite angles)。
∠1与∠2互补，∠3与∠2互补，由“同角的补角相等”，可以得出∠1=∠3。类似地，∠2=∠4。这样，我们得到对顶角的性质：对顶角相等。
上面推出“对顶角相等”这个结论的过程，可以写成下面的形式：
因为∠1与∠2互补，∠3与∠2互补（邻补角的定义），
所以∠1=∠3（同角的补角相等）。

5.1.2 垂线
在相交线的模型中，固定木条a，转动木条b。当b的位置变化时，a，b所成的∠α也会发生变化。当∠α=90°时，我们说a与b互相垂直(perpendicular)，记作a⊥b。
垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线(perpendicular line)，它们的交点叫做垂足(foot of a per-pendicular)。
根据两条直线垂直的定义可知，如果两条直线相交所成的四个角中的任意一个角等于90°，那么这两条直线垂直。如果直线AB，CD相交于点O，∠AOD=90°，那么AB⊥CD。这个推理过程可以写成下面的形式：
因为∠AOD=90°，
所以AB⊥CD(垂直的定义)。
日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，你能举出一些例子吗？
经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线。即
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成：垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
前面我们研究了一条直线与另一条直线相交的情形，接下来，我们进一步研究一条直线与两条直线分别相交的情形。
例如直线AB，CD与EF相交（也可以说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截)，构成八个角。我们看那些没有公共顶点的两个角的关系。
如∠1和∠5，这两个角分别在直线AB，CD的同一方（上方），并且都在直线EF的同侧（右侧），具有这种位置关系的一对角叫做同位角(corresponding angles)。
再看∠3和∠5，这两个角都在直线AB，CD之间，并且分别在直线EF两侧（∠3在直线EF左侧，∠5在直线EF右侧)，具有这种位置关系的一对角叫做内错角(alternate interior angles)。∠3和∠6也都在直线AB，CD之间，但它们在直线EF的同一旁（左侧），具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角(interior angles on the same side)。